Ângulo zero?

Existe ângulo zero?

Sim, quando duas retas têm dois pontos em comum. Mas quem se lembra disso?_____________________________________________________________________________________________

A matemática já está toda pronta? É como um motor e já está montada, instalada, lubrificada, pronta para a partida? Matemáticos e professores de matemática sabem que não: na internet, muitos websites listam centenas de problemas matemáticos ainda não resolvidos, inclusive problemas de geometria. Em Vitória da Conquista (BA), contudo, vários alunos de licenciatura em matemática (isto é, alunos que, depois de formados, vão ensinar matemática no ensino fundamental 2 e no médio) acham que a matemática em geral, e a geometria em particular, está pronta. “Muitos dos meus alunos de licenciatura”, diz Júlio César dos Reis, professor na Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia (Uesb), “não têm direito a ideia de que a matemática está em construção. Na verdade, durante o primeiro ano de licenciatura, eles mantêm a visão dos que terminam o ensino médio no Brasil, que também pensam assim.”

Escolha um brasileiro a esmo na rua, se aproxime dele e pergunte o que sabe de geometria. Por causa da história recente do Brasil, é bem provável que saiba pouco — e o próprio Júlio não se considera exceção. Tem mestrado e doutorado, e sabe muito mais que um cidadão comum, mas admite: “Eu percebo que a parte algébrica é mais fácil para mim, e que a parte geométrica é mais difícil. Eu entendo as explicações geométricas, mas não conseguiria fazer pesquisa em geometria — não tenho ideias geométricas originais. Boa parte dos meus alunos também é assim.” Dá aulas desde 2002, mas, em 2012, a Uesb redistribuiu as disciplinas e Júlio viu a chance de dar aulas de geometria euclidiana plana para os alunos do primeiro ano da licenciatura — pediu a oportunidade, e conseguiu. “Pensei: vou dar aulas de geometria e, desse modo, vou estudar o assunto melhor.” Já sabia que essa disciplina tinha a maior taxa de reprovação, mas uma coisa é saber de ouvir falar, e outra é fazer parte do problema. “Eles têm muitas dificuldades, e isso me incomodou.”

Folha em branco
No segundo semestre de 2012, Júlio elaborou mentalmente umas poucas hipóteses para explicar as dificuldades, e todas caíam na mesma categoria: dificuldades muito básicas, isto é, falhas de formação. Desconfiou que seus alunos não conheciam bem os axiomas da geometria euclidiana — não os 20 axiomas de Hilbert, que são mais abstratos e técnicos, nem os 5 postulados e as 5 noções comuns de Euclides, que são excessivamente intuitivos, mas os axiomas tais como o matemático russo Aleksei Pogorelov os explicou no livro Geometría Elemental. “A axiomática do Pogorelov é mais parecida com a que vemos em bons livros do ensino médio”, diz Júlio. “Ela é parecida com a de Euclides, mas Pogorelov deixou mais claros os axiomas de medição, que são necessários quando trabalhamos com ângulos.” Resolver problemas de geometria sem conhecer os axiomas da geometria é mais ou menos como resolver problemas de álgebra sem conhecer a regra segundo a qual a(b + c) = ab + ac. Então, na tarde do dia 14 de novembro de 2012, num intervalo de aula, Júlio propôs um exercício diferente aos 29 alunos presentes. Disse algo mais ou menos assim:

— Por favor, escrevam todos os axiomas da geometria euclidiana os quais vocês conseguem lembrar. Tentem ser tão precisos quanto possível, mas não se preocupem em separar os axiomas em axiomas de incidência, axiomas de ordem, etc.

“Eu não queria saber apenas o que eles lembravam”, diz Júlio, “mas também como eles lembravam.” Quando ninguém conseguiu recordar mais nada, Júlio passou recolhendo as folhas, e mais tarde tabulou os dados. [Veja a tabela 1; a classificação dos axiomas em grupos é iniciativa de Júlio, e não necessariamente dos alunos.] Só quando os dados estavam tabulados Júlio percebeu com o que estava lidando: seus alunos não se lembravam dos axiomas de medição de ângulos. “Isso me pareceu muito esquisito, porque ângulo é uma coisa que usamos toda hora para fazer contas.” Será porque o estudante brasileiro, de modo geral, sabe pouca trigonometria? “Talvez, mas a verdade é que ainda não tenho uma boa hipótese para explicar o que descobri.”

Numa outra aula, Júlio pediu à classe que fizesse o seguinte exercício: peguem uma lista dos axiomas da geometria, tirem os livros do ensino fundamental e do médio do armário, e estudem tais livros marcando com capricho quais axiomas são usados pelo autor em quais pontos. Uns poucos dias depois, quando foi conversar com os alunos a respeito dessa atividade, de novo se surpreendeu. “Vários deles não estavam revendo o conteúdo do ensino básico à luz dos axiomas. Ao contrário, estavam estudando geometria euclidiana plana pela primeira vez na vida. Eles têm de axiomatizar uma teoria que estão vendo pela primeira vez, o que obviamente é difícil. Seria mais fácil se tivessem de aprender só para eles, mas têm de aprender para ensinar geometria aos outros.”

O segundo semestre de 2012 acabou: durante as férias, Júlio selecionou vinte exercícios de geometria, que lhe pareceram adequados para forçar o aluno a identificar os pontos nos quais cada axioma entra em ação. “Caso meus alunos entendam bem o que é essencial, acho que conseguem ser mais flexíveis para ensinar matemática conforme as circunstâncias da escola e da classe.” No primeiro semestre de 2013, passará a lista a seus alunos, enquanto pensa numa outra pesquisa, a ser feita mais para o fim do semestre. “Desta vez, quem sabe eu consigo identificar mais coisas; quem sabe consigo testar uma ou duas hipóteses, não sei ainda.”

Júlio sabe dizer, porém, que resultados gostaria de produzir, caso suas iniciativas dessem 100% certo. Gostaria de produzir professores de matemática capazes de entender que a matemática ainda está em construção, e que há muita pergunta sem resposta. “É verdade que precisamos de treinamento especializado só para entender o enunciado da pergunta, mas isso é outra questão.” Principalmente, gostaria de produzir professores capazes de passar essa ideia a seus jovens alunos. “É difícil, mas acho possível ensinar matemática básica de modo que o aluno sinta que está construindo algo novo, e não se esfalfando de estudar algo velho.”

Revista Cálculo